Explain why the generalised matrix inverse is necessary!

[CLRafaelR]

計算すること

応答変数とコーディングから，${\beta}_0$と${\beta}_1$がどのような値か計算する

$$ \begin{aligned} 512 = {\beta}_0 + {\beta}_1 487 = {\beta}_0 - {\beta}_1 \end{aligned} $$

解き方

• 上の2つの式を1つにまとめる
• そのまとめ方が行列

$$
\left(
\begin{array}{c}
512 \
487
\end{array}
\right)

\left(
\begin{array}{cc}
1 & 1 \
1 & -1
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
{\beta}_0 \
{\beta}_1
\end{array}
\right)
$$

数字がたくさん出てきてまとまっている感じがしないので，さらに行列を文字で置き換える

$$ \boldsymbol{y} = \boldsymbol{B}\boldsymbol{x} $$

• $\boldsymbol{B}$ を求めるので，右辺の $\boldsymbol{x}$ を打ち消したい
  • 右辺を $\boldsymbol{B}$ だけにしたい
• $\boldsymbol{x}^{-}$ （ $\boldsymbol{x}$ の逆行列）を両辺に掛けると，右辺の $\boldsymbol{x}$ が打ち消せる
• $\boldsymbol{x} \times \boldsymbol{x}^{-} = I$ （$I$は単位行列）
• $\boldsymbol{B} \times I = \boldsymbol{B}$ （ある行列$\boldsymbol{B}$に単位行列を掛けると，$\boldsymbol{B}$がそのまま出てくる）

$$ \therefore \boldsymbol{x}^{-}\boldsymbol{y} = \boldsymbol{B} $$

• この形になれば，${\beta}_0$と${\beta}_1$の組合せ$\boldsymbol{B}$が求められる
• そのためには， $\boldsymbol{x}$ から $\boldsymbol{x}^{-}$ を作る必要がある
• $\boldsymbol{x}$ から $\boldsymbol{x}^{-}$ を作る操作が，一般化逆行列

$\boldsymbol{x}^{-}$ はコーディングの行列

CodeM <- matrix(c(1, 1, 1, -1), nrow = 2)

$\boldsymbol{x}^{-}$は重みづけの行列

CodeM |> hypr::ginv2()

コーディングの行列と重みづけの行列を行ったり来たりする