旋转ASCII字符立方体

0 由来

最近心血来潮,恰好刷到了一个有关旋转ASCII立方体的视频,于是乎我打算重新学习一下计算机图形学,所以打算借这个项目练手一下,主要用到了一些线性代数的知识，包括坐标轴的旋转、点的旋转。这是一张演示图片：

1 原理

1.1 二维平面中的坐标旋转

在二维平面中，描述一个点可以使用$(x,y)$来进行描述。现在规定绕原点进行逆时针旋转的方向为正方向。那么一个点$P(x_1,y_1)$经过旋转后，假设它旋转到了$P'(x_2,y_2)$这个点，那么可以根据这些点之间的几何关系来表达出来$P$和$P'$之间的关系。

因此，可以得到变换矩阵为：

$$ \begin{bmatrix} cos(b) & -sin(b)\\ sin(b) & cos(b) \end{bmatrix} $$

这里$b$是我们旋转后的角度，所以对于二维平面上任意一个点，我们都可以根据公式得到旋转后的坐标。同理，还有一种情况就是旋转坐标轴但是点不发生变化，这里的旋转矩阵其实与原来的旋转矩阵十分相像，这是因为两者的参考系不同，但是结果很相同。首先，对逆时针旋转坐标轴来说就是顺时针旋转坐标点，因此旋转坐标轴只需要把$-b$带入即可。

1.2 三维空间中的旋转坐标

在三维空间里面，我们可以简化讨论整个旋转过程，因为这样可以使用在二维平面里面得到的公式推论。请设想，假设我们只在$yz$平面上进行旋转，那么$x$轴的坐标其实是不发生变换的，所以，这样就可以使用我们得到的二维旋转公式了。对三个平面来说，每次只需要分别计算即可。

那么我们假设对点$P(i,j,k)$来说，当绕$x$轴发生转动时，$x$坐标的值不发生变化，那么我们就可以得到绕$x$轴的矩阵为

$$ R(x) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos(b) & -sin(b)\\ 0 & sin(b) & cos(b) \end{bmatrix} $$

同理也可以得到绕$y$轴和$z$轴的旋转矩阵

$$ R(y) = \begin{bmatrix} cos(b) & 0 & -sin(b)\\ 0 & 1 & 0\\ sin(b) & 0 & cos(b) \end{bmatrix} $$

这是绕着$z$旋转的结果

$$ R(z) = \begin{bmatrix} cos(b) & -sin(b) & 0\\ sin(b) & cos(b) & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

1.3 z-buffer算法

这是z-buffer的一个解释链接。实际上这个算法还是相当简单易懂的，主要思路就是，对透视投影来说，假设这里有一个虚拟的眼睛(或者相机),那么对于这个眼睛来说，越靠近这个眼睛的物体便会在投影平面上占据越大的范围，显然，这个物体会遮挡住后面的物体，因此只需要保留越靠近眼睛的这个物体的z轴坐标即可。