[ELEC1370] Exam update 2013-14-16 & new 2018 2020

src/q4/circmes-ELEC1370/exam/2013/Juin/Mineure/circmes-ELEC1370-exam-2013-Juin-Mineure.tex

@@ -1,26 +1,30 @@
 \documentclass[fr]{../../../../../../eplexam}
 \usepackage{../../../../../../eplunits}
 \usepackage[oldvoltagedirection]{circuitikz}
+\usepackage{bodegraph}
 \usepackage{pgfplots}
+\usepackage{amsmath}
 \usepackage{enumitem}
+
+
 \pgfplotsset{compat=newest}
 \tikzset{meter/.style={draw,thick,circle,fill=white,minimum size =0.75cm,inner sep=0pt}}
 
 \hypertitle{circmes-ELEC1370}{4}{ELEC}{1370}{2013}{Juin}{Mineure}
-{Nicolas Verbeek\and Adrien Couplet\and Martin Van Essche\and Guillaume Gilson\and Guillaume Colinet}
+{Brieuc Balon}
 {Claude Oestges, Bruno Dehez and Christophe Craeye}
 
 \section{Question Oestges : phaseurs}
-Soit le circuit suivant opérant à $\SI{20}{\kilo\hertz}$ avec $V_o=2.46 \angle\ang{126.87}$ V,
+Soit le circuit suivant opérant à $20kHz$ avec $V_o=2.46 \angle 126.87^\circ$ V,
 \begin{center}
   	\begin{circuitikz} 
   		\draw
 		(0,2.5) to[american controlled current source,l=$2 V_x$] (0,0) 
 		(2.5,2.5) -- (0,2.5)
-		(5,2.5) to [american voltage source,l_=$12\angle\ang{0}$ V] (2.5,2.5) 
-		(2.5,0) to[R,l=$\SI{1}{\ohm}$,-*] (2.5,2.5)
-		(5,2.5) to[C,l=-j$\SI{1}{\ohm}$,i=$I_C$,v=$V_x$] (5,0)
-		(5,2.5) to[european resistor,*-,l=j$X$] (7.5,2.5) to [R,l=$\SI{1}{\ohm}$,v=$V_o$] (7.5,0) -- (5,0)
+		(5,2.5) to [american voltage source,l_=$12\angle 0^\circ$ V] (2.5,2.5) 
+		(2.5,0) to[R,l=$1\Omega$,-*] (2.5,2.5)
+		(5,2.5) to[C,l=-1j$\Omega$,i=$I_C$,v=$V_x$] (5,0)
+		(5,2.5) to[european resistor,*-,l=j$X$] (7.5,2.5) to [R,l=$1\Omega$,v=$V_o$] (7.5,0) -- (5,0)
 		(7.5,2.5) to [short,*-o,l=$B$] (8.5,2.5)
 		(7.5,0) to [short,*-o,l=$A$] (8.5,0)
 		(0,0) -- (5,0);
@@ -38,13 +42,134 @@ \section{Question Oestges : phaseurs}
 \end{enumerate}
 
 \begin{solution}
+    Pour la résolution du circuit nous utiliserons les notations :
+    \begin{center}
+  	\begin{circuitikz} 
+  		\draw
+		(0,2.5) to[american controlled current source,l=$2 V_x$] (0,0) 
+		(2.5,2.5) -- (0,2.5)
+		(5,2.5) to [american voltage source,l_=$12\angle 0^\circ$ V, i = $I_S$] (2.5,2.5) 
+		(2.5,0) to[R,l=$1\Omega$,i = $I_R$, v = $V_R$,-*] (2.5,2.5)
+		(5,2.5) to[C,l=-1j$\Omega$,i=$I_C$,v=$V_x$] (5,0)
+		(5,2.5) to[european resistor,*-,l=j$X$,v =$V_L$] (7.5,2.5) to [R,l=$1\Omega$,i=$I_0$,v=$V_o$] (7.5,0) -- (5,0)
+		(7.5,2.5) to [short,*-o,l=$B$] (8.5,2.5)
+		(7.5,0) to [short,*-o,l=$A$] (8.5,0)
+		(0,0) -- (5,0);
+	\end{circuitikz}
+\end{center}
+Sur base de la relation élémentaire $V=ZI$ nous pouvons écrire :
+\begin{equation*}
+    I_o = 2.46\angle 126.87^\circ V
+\end{equation*}
 \begin{enumerate}
-    \item $I_C = 3.48\angle\ang{-98.13}$ A
-    \item $X=\SI{1}{\ohm}$
-    \item $V_s = 8.57 \angle\ang{-176.7}$ V et $V_\text{eff} = 6.05$ V
-    \item $P = \SI{10}{\watt}$
-    \item $V_\text{th} = V_o$ et $Z_\text{th} = 0.615 \angle 36.87^\circ$
-    \item $Z_\text{L} = Z_\text{th}^{*}$
+\item En faisant la loi des mailles sur la maille centrale et une équation des noeuds sur le noeud en bas de la résistance de $1\Omega$ nous pouvons écrire : 
+\begin{equation*}
+    \left \{
+    \begin{array}{rcl}
+    V_R + 12 + V_x &=&0 \\
+    2 V_x + I_c + I_o &=& \frac{V_R}{1}
+    \end{array}
+    \right.
+    \Leftrightarrow
+    \left \{
+    \begin{array}{rcl}
+    V_R + V_x &=& =-12 \\
+    2 V_x  -V_R + \frac{V_x}{-j}  &=&  -2.46\angle 126.87^\circ 
+    \end{array}
+    \right.
+\end{equation*}
+\begin{equation*}
+\left \{
+\begin{array}{rcl}
+V_R + V_x &=& =-12 \\
+V_x (2- \frac{1}{j}) - V_R &=&  -2.46\angle 126.87^\circ
+
+\end{array}
+\right.
+\Leftrightarrow
+ \left \{
+\begin{array}{rcl}
+V_x &=& = 3.385\angle 172.157^\circ [V] \\
+V_R &=&  8.658\angle -176.94^\circ [V]
+
+\end{array}
+\right.
+\end{equation*}
+On peut trouver le courant $I_c$ sur base de la relation élémentaire $V=ZI$:
+\begin{equation*}
+    I_c = \frac{V_x}{-j} = 3.38\angle -97.843^\circ [A]
+\end{equation*}
+\item En faisant une loi des mailles sur la maille de droite nous pouvons écrire :
+\begin{equation*}
+    V_L = V_x - Vo = 2.4068\angle-141.261^\circ [V]
+\end{equation*}
+On peut trouver $jX$ sur base de la relation élémentaire $V = ZI$ :
+\begin{equation*}
+    jX = \frac{V_L}{I_o}=0.978\angle 91.869^\circ = - 0.032 + 0.978j \simeq 1j \Leftrightarrow X = 1 \rightarrow L = \frac{1}{\omega} =\frac{1}{2\pi \cdot 20000} = 7.957 [\mu H]
+\end{equation*}
+\item La tenion au borne de la source commandé vaut $V_R$:
+\begin{equation*}
+    V_s = 8.658\angle -176.94^\circ [V] \rightarrow V_{eff} = \frac{V_s}{\sqrt{2}} = 6.12[V]
+\end{equation*}
+\item En faisant une loi des noeuds sur le noeud de la borne positive de la source de tension nous obtenons : 
+\begin{equation*}
+    I_s = 2V_x - I_R = 2V_x - V_R = 2.38\angle 35.55^\circ [A] 
+\end{equation*}
+En considérant que la tension $V_o$ est valeur de crête nous pouvons écrire\footnote{Si c'était la valeur efficace nous n'aurions pas la facteur 2 au dénominateur} : 
+\begin{equation*}
+    P = \Re(S) = \frac{VI_s^\ast}{2} =\Re(6* 2.38\angle -35.55^\circ)= 11.61 [W]
+\end{equation*}
+\item Nous connaissons la tension de Thévenin ($V_{Th} = V_o$) calculons maintenant la résistance équivalente ($Z_{eq}$) sur base du circuit modifié :
+
+ \begin{center}
+     \begin{circuitikz} 
+     \draw
+     (2.5,0) to[R,l=$1\Omega$] (2.5,2.5)
+     (2.5,2.5)--(5,2.5) to[C,l=$-1j\Omega$] (5,0)
+    (5,2.5) to[european resistor,l=j$X$,] (7.5,2.5) to [R,l=$1\Omega$] (7.5,0) -- (5,0)
+	(7.5,2.5) to [short,*-o,l=$B$] (8.5,2.5)
+	(7.5,0) to [short,*-o,l=$A$] (8.5,0)
+	(2.5,0) -- (5,0);
+     \end{circuitikz}
+ \end{center}
+Nous pouvons observer que :
+\begin{equation*}
+    Z_{eq} = 1\Omega || (jX\Omega +(-j\Omega||1\Omega)) = 0.447\angle 26.56^\circ [\Omega]
+\end{equation*}
+Le dipôle équivalent de Thévenin aux bornes $A-B$ est représenté ci-dessous : 
+\begin{center}
+        \begin{circuitikz}
+        \draw
+        (0,0) to [american voltage source,l=$V_{Th}$] (0,2) to [R,l=$Z_{eq}$](3,2)
+        (3,0)--(0,0);
+        \end{circuitikz}
+    \end{center}
+\item L'impédance de charge qui maximiserait le transfert de la puissance est $Z_{charge} = Z_{eq}$. Prouvons l'égalité sur base d'un cas général: 
+\begin{center}
+        \begin{circuitikz}
+        \draw
+        (0,0) to [american voltage source,l=$V$] (0,2) to [european resistor,l=$Z_1$](3,2) to [european resistor, l=$Z_2$](3,0)--(0,0);
+        \end{circuitikz}
+    \end{center}
+    La puissance de $Z_2$ est donné par :
+\begin{equation*}
+    P_{Z_2}(Z_2) = Z_2 I^2 ~~\mbox{avec}~~I=\frac{V}{Z_1+Z_2}
+\end{equation*}
+\begin{equation*}
+    \Leftrightarrow P_{Z_2}(Z_2) = V^2\frac{Z_2}{(Z_1+Z_2)^2}
+\end{equation*}
+Pour maximiser sa puissance nous allons voir pour quelles valeurs sa dérivée par rapport à $Z_2$ s'annule :
+\begin{equation*}
+    \frac{\partial P_{Z_2}}{\partial Z_2}(Z_2) = V^2\frac{(Z_1+Z_2)^2-2(Z_1+Z_2)Z_2}{(Z_1+Z_2)^2}= V^2\frac{Z_1^2-Z_2^2}{(Z_1+Z_2)^2} =0 
+\end{equation*}
+\begin{equation*}
+    \Leftrightarrow Z_1^2=Z_2^2 \Rightarrow Z_1 = Z_2
+\end{equation*}
+On peut voir que cette condition amène un maximum en regardant le signe de la dérivée seconde : 
+\begin{equation*}
+    \frac{\partial^2 P_{Z_2}}{\partial Z_2}(Z_2)= 2V^2\frac{Z_2-2Z_1}{(Z_1+Z_2)^4}
+\end{equation*}
+Dont le signe est négatif lorsque $Z_2=Z_1$.
 \end{enumerate}
 \end{solution}
 
@@ -64,7 +189,7 @@ \section{Question Oestges : Bode et quadripôles}
 		(8,2.5) to [open,v^=$V_o$] (8,0);
 	\end{circuitikz}
 \end{center}
-Le quadripôle de ce circuit est représenté par la matrice $Z$ suivante à la fréquence de $\SI{26.5}{\kilo\hertz}$
+Le quadripôle de ce circuit est représenté par la matrice $Z$ suivante à la fréquence de $26.5kHz$
 \[ \begin{bmatrix} 6-2j & 4-6j \\ 4-6j & 7+2j \end{bmatrix} \]
 On demande de
 \begin{enumerate}
@@ -73,22 +198,196 @@ \section{Question Oestges : Bode et quadripôles}
     \item Sachant que $Z_1$ et $Z_3$ sont des impédances de type R-L série ($R_1$, $L_1$ et $R_3$, $L_3$) et que $Z_2$ est une impédance de type R-C série ($R_2$, $C_2$) calculer les différents composants.
     \item Réécrire la matrice $Z$ du quadripôle en fonction des différent composants trouvés ci-dessus ainsi que de la pulsation $\omega$.
     \item Tracer le diagramme de Bode du gain $A_\text{vf}$ pour les valeurs calculées des éléments si on branche en sortie du quadripôle une résistance très grande (supposée infinie). De quel type de filtre s’agit-il ?
-    \item Calculer l'impédance d’entrée du circuit si on branche en sortie du quadripôle une résistance de $\SI{5}{\ohm}$.
+    \item Calculer l'impédance d’entrée du circuit si on branche en sortie du quadripôle une résistance de $5\Omega$.
 \end{enumerate}
 
 \begin{solution}
 \begin{enumerate}
-    \item La matrice $Z$ est la suivante
-    \[ [Z] = \begin{bmatrix} Z_1 + Z_2 & Z_2 \\ Z_2 & Z_2 + Z_3 \end{bmatrix} \]
-    \item $Z_1 = 2+4j$, $Z_2 = 4-6j$ et $Z_3 = 3+8j$
-    \item $R_1 = \SI{2}{\ohm}$, $L_1=\SI{24}{\micro\henry}$, $R_3 = \SI{3}{\ohm}$, $L_3 = \SI{48}{\micro\henry}$, $R_3 = \SI{4}{\ohm}$, $C_2 = \SI{1}{\micro\farad}$.
-    \item La matrice $Z$ est la suivante
-	\[ [Z] = \begin{bmatrix}R_1+R_2+j\omega L_1 + \frac{1}{j\omega C_2} & R_2 + \frac{1}{j\omega C_2} \\ R_2 + \frac{1}{j\omega C_2} & R_2+R_3+j\omega L_3 + \frac{1}{j\omega C_2} \end{bmatrix} \]
-    \item Le gain s'écrit
-    \[ A_\text{vf} = \frac{j\omega C_2 R_2 + 1}{(j\omega)^2 L_1 C_2 + j\omega C_2 (R_1+R_2) +1} \]
-    C'est un filtre passe-bas.
-    \item $Z_\text{in} = 8.43 \angle\ang{11.09}$
+    \item La matrice $Z$ est calculée grâce à : 
+    \begin{equation*}
+        \begin{bmatrix}
+        V_i \\
+        V_o
+        \end{bmatrix} = 
+\begin{bmatrix}
+z_i & z_r \\
+z_f & z_o
+\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}
+I_i \\
+I_o
+\end{bmatrix}
+\end{equation*}
+En annulant le courant $I_o$ le circuit devient :
+\begin{center}
+	\begin{circuitikz} 
+		\draw
+  		(2.5,2.5) to [european resistor,l^=$Z_1$,i=$I_i$]  (5,2.5)
+ 		(5,2.5) to[european resistor,*-,l=$Z_2$] (5,0)
+ 		(7.5,2.5) to (5,2.5)
+  		(7,2.5) to [short,-o] (8,2.5)
+ 		(5,0) to [short,-o] (8,0)
+ 		(5,0) to [short,-o] (2,0)
+ 		(2.5,2.5) to [short,-o] (2,2.5)
+ 		(2,2.5) to [open,v=$V_i$] (2,0)
+		(8,2.5) to [open,v^=$V_o$] (8,0);
+	\end{circuitikz}
+\end{center}
+Sur base de la relation élémentaire $Z=RI$ nous pouvons écrire :
+\begin{equation*}
+\left \{
+    \begin{array}{rcl}
+    V_i &=& (Z_1+ Z_2)I_i \\
+    V_o &=&  Z_2 I_o
+\end{array}
+\right.
+\Leftrightarrow 
+\left \{
+    \begin{array}{rcl}
+    z_f &=& Z_1+ Z_2 [\Omega]\\
+    z_i &=&  Z_2 [\Omega]
+\end{array}
+\right.
+\end{equation*}
+En annulant le courant $I_i$ le circuit devient : 
+\begin{center}
+	\begin{circuitikz} 
+		\draw
+  		(2.5,2.5) to   (5,2.5)
+ 		(5,2.5) to[european resistor,l=$Z_2$] (5,0)
+ 		(7.5,2.5) to[european resistor,-*,l_=$Z_3$,i=$I_o$] (5,2.5)
+  		(7,2.5) to [short,-o] (8,2.5)
+ 		(5,0) to [short,-o] (8,0)
+ 		(5,0) to [short,-o] (2,0)
+ 		(2.5,2.5) to [short,-o] (2,2.5)
+ 		(2,2.5) to [open,v=$V_i$] (2,0)
+		(8,2.5) to [open,v^=$V_o$] (8,0);
+	\end{circuitikz}
+\end{center}
+
+Sur base de la relation élémentaire $Z=RI$ nous pouvons écrire :
+\begin{equation*}
+\left \{
+    \begin{array}{rcl}
+    V_i &=&  Z_2 I_o \\
+    V_o &=&  (Z_2+Z_3) Io
+\end{array}
+\right.
+\Leftrightarrow 
+\left \{
+    \begin{array}{rcl}
+    z_r &=&  Z_2 [\Omega]\\
+    z_0 &=&  Z_2+Z_3 [\Omega]
+\end{array}
+\right.
+\end{equation*}
+La matrice Z est donc :
+\begin{equation*}
+    Z = \begin{bmatrix} Z_1 + Z_2 & Z_2 \\ Z_2 & Z_2 + Z_3 \end{bmatrix}
+\end{equation*}
+
+\item Nous pouvons calculer les valeurs complexes de $Z_1$, $Z_2$ et $Z_3$ avec les valeurs données et la matrice Z calculée précédement :
+\begin{equation*}
+  \left \{
+        \begin{array}{rcl}
+    Z_1 +Z_2 &=&  6-2j \\
+    Z_2 &=&  4-6j \\
+    Z_2+Z_3 &=& 7+2j
+\end{array}
+\right.
+\Leftrightarrow 
+\left \{
+    \begin{array}{rcl}
+    Z_1 &=& 2+4j [\Omega] \\
+    Z_2 &=& 4-6j [\Omega]\\
+    Z_3 &=& 3+8j [\Omega]
+\end{array}
+\right.
+\end{equation*}
+\item Nous pouvons réécrire les relations calculées précédement sous la forme :
+\begin{equation*}
+\left\{\begin{matrix*}[l]
+Z_1 = 2+4j = R_1+ j\omega L_1 \\
+Z_2 = 4-6j = R_2 + j\frac{1}{\omega C_2} \\
+Z_3 = 3+8j = R_3 +j\omega L_3
+\end{matrix*}\right. 
+    \Leftrightarrow
+    \left\{\begin{matrix*}[l]
+    R_1 = 2 [\Omega]\\
+    R_2 = 4 [\Omega]\\
+    R_3 = 3 [\Omega]\\
+    L_1 =  \frac{4}{\omega} = \frac{4}{2*\pi*26500} = 24[\mu H]\\
+    C_2 = \frac{1}{6\omega} = \frac{1}{6*2*\pi*26500}=1[\mu F]\\
+    L_3 =\frac{8}{\omega} = \frac{8}{2*\pi*26500} = 48[\mu H]\\[1ex]\end{matrix*}\right.
+\end{equation*}
+
+\item La matrice $Z$ est la suivante
+	\[ Z = \begin{bmatrix}R_1+R_2+j\omega L_1 + \frac{1}{j\omega C_2} & R_2 + \frac{1}{j\omega C_2} \\ R_2 + \frac{1}{j\omega C_2} & R_2+R_3+j\omega L_3 + \frac{1}{j\omega C_2} \end{bmatrix} \]
+
+\item Le gain s'écrit :
+   \begin{equation*}
+       A_{vf} = \frac{A_{vfo}}{1-\frac{z_r}{z_l}A_{vfo}} ~~\mbox{avec} ~~A_{vfo}= \frac{z_f}{z_i}\frac{z_L}{z_L+z_o} = \frac{z_f}{z_i}~~\mbox{car} ~~z_L \simeq \infty
+   \end{equation*}
+   \begin{equation*}
+       A_{vf}= \frac{\frac{z_f}{z_i}}{1-\frac{z_r}{z_L}\frac{z_f}{z_i}}= \frac{z_f}{z_i}=\frac{R_2+\frac{1}{j\omega C_2}}{R_1+R_2+j\omega L_1+\frac{1}{j\omega C_2}} = \frac{1+R_2 C_2 j \omega}{1+(R_1+R_2)j\omega C_2 + (j\omega)^2 L_1 C_2}  
+       \end{equation*}
+       La fonction de transfert peut être réécrite sour la forme : 
+       \begin{equation*}
+           H(j\omega) = \frac{1 + j\frac{\omega}{\omega_0}}{1+2\xi j\frac{\omega}{\omega_1}+ (j\frac{\omega}{\omega_1})^2}~~
+           \mbox{avec}~~
+           \left\{\begin{matrix*}[l]
+\omega_0 = \frac{1}{R_2C_2} =2.5*10^{5} [\mbox{rad/s}]\\
+\omega_1 =\frac{1}{\sqrt{L_1C_1}} = 204124 [\mbox{rad/s}] \\
+\xi = \frac{\omega_1}{2}(R_1+R_2)C_2 = 0.6124
+\end{matrix*}\right.
+\end{equation*}
+
+\begin{center}
+     \begin{tikzpicture}[
+    gnuplot def/.append style={prefix={}},
+]
+
+% Grid Style
+\tikzset{
+    semilog lines/.style={black},
+    semilog lines 2/.style={gray,dotted},
+    semilog half lines/.style={gray, dotted},
+    semilog label x/.style={below,font=\tiny},
+    semilog label y/.style={above,font=\tiny} }
+
+% Magnitude Plot
+\begin{scope}[xscale=7/5, yscale=3/50]
+    \UnitedB
+    \semilog{0}{8}{-30}{20} 
+    %Asymp
+     \BodeGraph[green,samples=1000]{0:6.05}{\SOAmpAsymp{1}{0.6124}{204124}}
+     \BodeGraph[blue,samples=1000]{0:6.4}{-\POAmpAsymp{1}{0.000004}}
+    %Real
+    \BodeGraph[red,samples=1000]{0:6.7}{\SOAmp{1}{0.6124}{204124}-\POAmp{1}{0.000004}}
+\end{scope}
+% Phase plot
+\begin{scope}[yshift=-5cm,xscale=7/5,yscale=3/180]
+    \UniteDegre
+    \OrdBode{30}
+    \semilog{0}{8}{-180}{90}
+    %Asymp
+     \BodeGraph[green,samples=1000]{0:8}{\SOArgAsymp{1}{0.6124}{204124}}
+     \BodeGraph[blue,samples=1000]{0:8}{-\POArgAsymp{1}{0.000004}}
+     %Real
+    \BodeGraph[red,samples=1000]{0:8}{\SOArg{1}{0.6124}{204124}-\POArg{1}{0.000004}}
+\end{scope}
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+    C'est un filtre passe-bas. Le bleu correspond au tracé asymptotique du numérateur, le vert correspond au tracé asymptotique du dénominateur et le rouge correspond au tracé de la fonction de transfert.
+
+    \item L'impédance d'entrée s'écrit :
+    \begin{equation*}
+        Z_{in} = z_i (1+\frac{z_r}{z_i}A_{if,o})~~ \mbox{avec}~~A_{if,o} = -\frac{z_f}{z_o+z_L}
+    \end{equation*}
+    \begin{equation*}
+       \Leftrightarrow Z_{in}= z_i (1-\frac{z_r}{z_i}\frac{z_f}{z_o+z_L}) = (6-2j)(1-\frac{4-6j}{6-2j}\frac{4-6j}{(7+2j)+5}) = \frac{306}{37}+\frac{60}{37}j = 8.427\angle 11.09^\circ [\Omega]
+    \end{equation*}
+
 \end{enumerate}
 \end{solution}
-
-\end{document}
+\end{document}